15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 4: 69 Đa thức Vieta trong Đề thi 2024 và các dạng hiếm gặp khác
15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 4: 69 Đa thức Vieta trong Đề thi 2024 và các dạng hiếm gặp khác
Các Mục Chính
1. 369: 3 dạng biểu thức chiếm 69% bài toán tính biểu thức các đề DN năm 2024 TPHCM
Nhắc lại ví dụ:
Giải một số đề 2024 sử dụng các kết quả trên
2. Các dạng đa thức không điển hình hiếm gặp khác
Ví dụ 1:
Ví dụ 2:
Ví dụ 3:
Ví dụ 4:
3. Các Bài Toán Về Tham Số m
Tạm kết

15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 4: 69 Đa thức Vieta trong Đề thi 2024 và các dạng hiếm gặp khác

Trong ngày học thứ 4 này, chúng ta sẽ tập trung vào các bài toán nâng cao áp dụng công thức Vieta cho phương trình bậc 2.  1. 3 dạng 6 công thức giải 90% tất cả biểu thức Vieta trong đề 2024 2. Các Bài Toán chứa tham số m để xác định điều kiện cho nghiệm của phương trình.

Lớp 9 Thi Lớp 10 Đề thi Nâng cao
Shin Hoàng
Nov 5, 2024

1. 369: 3 dạng biểu thức chiếm 69% bài toán tính biểu thức các đề DN năm 2024 TPHCM

Nhắc lại ví dụ:

  1. Cho phương trình ax2+bx+c=0 ax^2 + bx + c = 0 Không giải phương trình, tính các hệ thức của hai nghiệm x1x_1 và x2x_2 theo a, b, c .(nếu phương trình có nghiệm)
 
  1. Hai hằng đẳng thức sử dụng nhiều trong đề thi
      2. H2=(x1+x2)2=x12+x22+2x1x2=x12+x22−2x1x2+4x1x2=(x1−x2)2+4x1x2\begin{align} H2 = &(x_1 + x_2)^2 \\= &x_1^2+x_2^2 + 2x_1x_2 \\=&x_1^2+x_2^2 - 2x_1x_2 + 4x_1x_2\\=&(x_1 - x_2)^2+ 4x_1x_2 \end{align} H3=x13+x23=(x1+x2)(x12+x22−x1x2)=S(S2−2P−P)=S(S2−3P)\begin{align} H3 =& x_1^3+x_2^3 \\ = &(x_1 + x_2)(x_1^2+x_2^2-x_1x_2) \\= &S(S^2-2P-P) \\=&S(S^2-3P) \end{align}

Giải một số đề 2024 sử dụng các kết quả trên

Cách giải chung: Các đa thức đối xứng không phụ thuộc vào phương trình, ta làm theo các bước cơ bản, rồi biến đổi biểu thức cần tính và thế giá trị của S,P theo Vieta.
Sử dụng trực tiếp kết quả AB (50.7%)
  • 2x1−(x1−x2)+x1x2+x2x12 x_{1}-\left(x_{1}-x_{2}\right)+\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}
    • (Đề Đề nghị Quận 11-3)
      • A=x1+x2+x12+x22x1x2=S+S2−2PP \begin{align*}A= &x_1+x_2 +\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2} \\ =&S+\frac{S^2-2P}{P} \end{align*}
  • A=1−x1x1+1−x2x2A=\frac{1-x_{1}}{x_{1}}+\frac{1-x_{2}}{x_{2}}
      • (Đề Đề nghị Quận 6-3)
      A=1x1−1+1x2−1=SP−2 \begin{align}A=&\frac{1}{x_1} -1+\frac{1}{x_2}-1\\ =&\frac{S}{P}-2 \end{align}
  •  A=x1+1x2+x2+1x1\text{ }\mathrm{A}=\frac{x_1+1}{x_2}+\frac{x_2+1}{x_1}
      • (Đề Đề nghị Quận 5-2)
      =S2−2P+SP =\frac{S^2-2P+S}{P}
      💡
      Gặp dạng này, các bạn quy đồng, Kết quả sẽ xuất hiện
 
Sử dụng trực tiếp kết quả C,C’ (18.3%)
  • M=(x1+3)(x2+3)M=\left(x_{1}+3\right)\left(x_{2}+3\right)
      • (Đề Cần Giờ -2)
      =P+3S+9=P+3S+9
  • A=(x1−3x2)(x2−3x1)A=\left(x_{1}-3 x_{2}\right)\left(x_{2}-3 x_{1}\right)
      • (Đề Phú Nhuận-6)
      =16P−3S2 =16P-3S^2
  • A=(3x1−2x2)(3x2−2x1)A=\left(3 x_{1}-2 x_{2}\right)\left(3 x_{2}-2 x_{1}\right)
      • (Đề Bình Thạnh -1)
      A=−6(S2−2P)+13P=25P−6S2\begin{align*}A=& -6\left(S^2-2P\right)+13P\\= & 25P-6S^2 \end{align*}
       
Sử dụng trực tiếp kết quả H2, H3 (bậc 2, 3) (4.2%)
  • B=x13+x23B=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}
      • (Đề Đề nghị Quận 3-1)
  • A=x13+x23−3x12x2−3x1x22A=x_{1}^{3}+x_{2}^{3}-3 x_{1}^{2} x_{2}-3 x_{1} x_{2}^{2}
      • (Đề Đề nghị Phú Nhuận-3)
      A=S(S2−3P)−3P(S)A=S({{S^2-3P}})-3P\left(S\right)
  • A=x12+x22−x1x2=10A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1} x_{2}=10
      • (Đề Đề nghị Quận 5-4)
      A=S2−3P A=S^2-3P
      💡
      Gặp dạng này, các bạn sử dụng hằng đẳng thức và/hoặc phân tích nhân tử để đưa về dạng hằng đẳng thức
Kết hợp (20.2%)
  • A=(x12−1x2)(x22−1x1)A=\left(x_{1}^{2}-\frac{1}{x_{2}}\right)\left(x_{2}^{2}-\frac{1}{x_{1}}\right)
      • (Đề Đề nghị Quận Tân Bình-2)
      A=P2−S+1P =P^2-S+\frac{1}{P}
      💡
      Nhân đa thức A, sẽ ra kết quả S,P
  • A=(2x2−2x1)(x1−x2)A=\left(\frac{2}{x_{2}}-\frac{2}{x_{1}}\right)\left(x_{1}-x_{2}\right)
    • (Đề Đề nghị Huyện Cần Giờ-4)
      • A=2(x1−x2)x1x2×(x1−x2)=2P(S2−4P)\begin{align*}A= &\frac{2( x_1 - x_2 )}{x_1x_2}×( x_1 - x_2 )\\= &\frac{2}{P}\left(S^2-4P\right) \end{align*}
      💡
      Các bạn có thể chọn Nhân đa thức (2x2−2x1)(\frac{2}{x_2}-\frac{2}{x_1}) với (x1−x2)(x_1- x_2), hoặc quy đồng2x2\frac{2}{x_2} với 2x1\frac{2}{x_1} trước đều cho kết quả như nhau. (Cách đầu đưa về KQ A’, trường hợp sau dùng H2
  • A=(x1−x2)(x12−x22)A=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right)
      • (Đề Đề nghị Quận Bình Tân-2)
      A=(x1−x2)(x1−x2)(x1+x2)=(x1−x2)2(x1+x2)=(S2−4P)S\begin{align*}A= & (x_1-x_2)(x_1-x_2)(x_1+x_2)\\=& (x_1-x_2)^2(x_1+x_2)\\ =& \left({{S^2-4P}}\right)S \end{align*}
💡
Gặp dạng kết hợp, hướng tiếp cận đầu tiên là quy đồng phân số nếu có và/hoặc khai triển đa thức. Tiếp theo tách riêng các phần S,P đã xuất hiện. Phần còn lại tìm xem có thể đưa về các kết quả quen thuộc hay không.

2. Các dạng đa thức không điển hình hiếm gặp khác

Ví dụ 1:

A=(2x1−5)(3x2+1)+17x2A =\left(2 x_{1}-5\right)\left(3 x_{2}+1\right)+17 x_{2}
(Đề Đề nghị Huyện Củ Chi-2)
Nhận xét:
  • Ta thấy A không đối xứng, cũng không thuộc các dạng quen thuộc.
  • Hướng suy nghĩ: Khai triển và rút gọn để xem có đưa về dạng đã biết được không
Thử:
A=6x1x2+2x1−15x2−5+17x2=6x1x2−5+2(x1+x2)=6P−2S−5A = 6x_1x_2+2x_1-15x_2-5+17x_2\\=6x_1x_2-5+2(x_1+x_2)\\ =6P-2S-5 (xong)

Ví dụ 2:

M=(x1+x2)⋅(x1+2x2)−x22M=\left(x_{1}+x_{2}\right) \cdot\left(x_{1}+2 x_{2}\right)-x_{2}^{2}
(Đề Đề nghị Quận 11-2)
Nhận xét:
  • Tương tự M không đối xứng, cũng không thuộc các dạng quen thuộc.
  • Hướng suy nghĩ: Khai triển và rút gọn để xem có đưa về dạng đã biết được không
Thử:
M=x12+2x1x2+x1x2+2x22−x2=x12+x22+3x1x2=S2+P \begin{align*}M= &x_1^2+2x_1x_2+x_1x_2+2x_2^2-x^2 \\= &x_1^2+x_2^2+3x_1x_2\\=& S^2+P\end{align*}

Ví dụ 3:

N=(x1+1)(x2+1)x12+5x2N=\frac{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}{x_{1}^{2}+5 x_{2}}
với x1,x2x_1, x_2 là nghiệm phương trình
x2−5x+3=0x^2-5x+3=0
Nhận xét:
  • ta thấy N không đối xứng, có tử số thuộc dạng C’
  • Hướng suy nghĩ: Khai triển và rút gọn để xem có đưa về dạng đã biết được không
Thử:
N=(P+S+1)x12+5x2N=\frac{(P+S+1)}{x_1^2+5x_2} (cụt😡)
Nhận xét:
  • ta thấy
x2−5x+3=0⇔x2=5x−3\begin{align}x^2&-5x+3 =0\\ ⇔ x^2 &= 5x - 3\end{align}
có dạng Pn(x)=kPn−1(x)+mP_n(x)= kP_{n-1}(x)+m (với n là bậc cao nhất của x)
  • Hướng suy nghĩ: hạ bậc x2x^2 bằng cách thay x2=5x−3x^2= 5x -3 vào N
Thử:
N=(P+S+1)x12+5x2=(P+S+1)5x1−3+5x2=(P+S+1)5S−3\begin{align*}N= &\frac{(P+S+1)}{x_1^2+5x_2}\\= &\frac{(P+S+1)}{5x_1-3+5x_2}\\=&\frac{(P+S+1)}{5S-3} \end{align*}
💡
Các phương trình bậc 2 có đủ hệ số a, b,c đều có dạng Pn(x)=kPn−1(x)+mP_n(x)= kP_{n-1}(x)+m Vì vậy khi gặp các đa thức nghiệm bất đối xứng, đây là một hướng nên nghĩ tới để giải.

Ví dụ 4:

M=x12−12x2x1 M=x_{1}^{2}-\frac{12 x_{2}}{x_{1}}
với x1,x2x_1,x_2 là nghiệm phương trình
x2−x−12=0x^2-x-12=0
(Đề Đề nghị Quận Bình Tân-1)
Nhận xét:
  • Đổi hướng suy nghĩ: dùng cách hạ bậc kết hợp đơn giản bằng cách thay cả x2=1−x1x_2= 1-x_1 và thay x12=x1+12x_1^2= x_1 +12 ⇔ x12−12=x1x_1^2-12 = x_1
Thử:
M=(x1+12)−12x2x1=(x1+12)−12×(1−x1)x1=x1+12−12x1+12=(x1−12x1)+24=x12−12x1+24=25\begin{align} M=& (x_{1}+12)-\frac{12 x_{2}}{x_{1}}\\= &(x_1+12)-\frac{12×(1- x_{1})}{x_{1}}\\= & x_1+12-\frac{12}{x_{1}}+12\\=&(x_1-\frac{12}{x_{1}})+24\\=&\frac{x_1^2-12}{x_{1}}+24 \\=&25\end{align}
💡
ở (13) ta thay phương trình màu vàng, ở (14) ta thay phương trình màu xanh, Cuối cùng ở (15) ta thay phương trình màu đỏ
  • Hướng suy nghĩ khác: ta thấy 12 xuất hiện trong −12x2x1-\frac{12 x_{2}}{x_{1}} vì vậy hướng thử thay 12=x12−x112=x_1^2-x_1
      • Thử:
      M=(x1+12)−(x12−x1)(x2)x1=(x1+12)−x1(x1−1)x2x1=x1+12−x1x2+x2=S−P+12\begin{align*} M=& (x_{1}+12)-\frac{(x_1^2-x_1) (x_{2})}{x_{1}}\\= &(x_1+12)-\frac{x_1(x_1-1)x_{2}}{x_{1}}\\= & x_1+12-x_1x_2+x_2\\=&S-P+12\end{align*}

3. Các Bài Toán Về Tham Số m

Ví Dụ 1:

Bài Toán: Cho phương trình
x^2-(m+1)x+m=0
Tìm m để phương trình có nghiệm kép.
Hướng Dẫn Giải:
  • Điều kiện để phương trình có nghiệm kép: Δ = 0 .
  • Δ = (m+1)2−4m=(m+1)^2 - 4m = 0 .
  • Giải phương trình :m2+2m+1−4m=0m^2 + 2m + 1 - 4m = 0 ha y m2−2m+1=0m^2 - 2m + 1 = 0 .
  • Nghiệm :m=1 m = 1 .

Ví Dụ 2:

Bài Toán: Cho phương trình
2x2+(3m−1)x+m2=02x^2 + (3m-1)x + m^2 = 0 .
Tìm M để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Hướng Dẫn Giải:
  • Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt: Δ > 0 .
  • Δ = (3m−1)2−8m2>0(3m-1)^2 - 8m^2 > 0 .
  • Giải bất phương trình: 9m2−6m+1−8m29m^2 - 6m + 1 - 8m^2 > 0 .
  • m2−6m+1>0m^2 - 6m + 1 > 0 .
  • Xét điều kiện bất phương trình để tìm giá trịm .

Ví Dụ 3:

Bài Toán: Cho phương trình
x2−2mx+2m−1=0.x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0 .
Tìm M để phương trình có 1 nghiệm nằm trong khoảng (0,1) .
Hướng Dẫn Giải:
  • Bước 1: Đặt  f(x)=x2−2mx+2m−1f(x) = x^2 - 2mx + 2m - 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm
      • 💡
      Nhận xét: phương trình có a+b+c= 0 ⇒ nghiệm x1=1 x_1 = 1 và x2=2m−1x_2=2m-1
      💡
      Tuy nhiên để các bạn có thể giải các bài không nằm trong trường hợp này, bài hướng dẫn sẽ trình bày theo các bước tổng quát
  • Bước 2: Xét 2 trường hợp :
    • Phương trình có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng (0,1) (a)
      • ⇔ f(0)⋅f(1)<0 f(0) \cdot f(1) < 0
        • giải thích: sử dụng kiến thức đồ thị đã biết.
      • Đồ thị của f(x) là một parapol mở lên trên (a=1 >0) cắt trục hoành tại hai điểm (x1,0)(x_1,0) và (x2,0)(x_2,0)
      • Phần nằm dưới trục hoành gồm các điểm có x ∈(x_1,x_2) (xem bên dưới)
      • vậy (a) ⇔x1<0<x2<1 x_1<0< x_2 < 1 hoặc 0<x1<1<x20< x_1 < 1<x_2 (với x1≤x2x_1≤x_2)
          • cả hai trường hợp đều dẫn đến f(0)⋅f(1)<0 f(0) \cdot f(1) < 0
      • Kiểm tra điều kiện này tương đương với m phải thoả điều kiện nào
    • Phương trình có 2 nghiệm đều nằm trong khoảng (0,1).
      • 💡
      Tương tự, các bạn hãy thử dùng đồ thị bên trên để tìm xem điều kiện cần và đủ là gì nhé
  1. TH1: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất trong khoảng (0,1)
      2. Phương trình có 1 nghiệm trong khoảng  (0,1)⇔ f(0)⋅f(1)<0 f(0) \cdot f(1) < 0
- Tính  f(0) :
f(0)=02−2m⋅0+2m−1=2m−1f(0) = 0^2 - 2m \cdot 0 + 2m - 1 = 2m - 1
- Tính  f(1) :
f(1)=12−2m⋅1+2m−1=1−2m+2m−1=0f(1) = 1^2 - 2m \cdot 1 + 2m - 1 = 1 - 2m + 2m - 1 = 0
- Vì  f(1) = 0 , điều này có nghĩa là  x = 1  là nghiệm của phương trình (không nằm trong khoảng (0,1). Yêu cầu bài toán tương đương nghiệm còn lại nằm trong khoảng (0,1)
  • Theo công thức Vieta, tổng các nghiệm của phương trình là:
x1+x2=2mx_1 + x_2 = 2m
- Biết  x1=1x_1 = 1 , ta có:
1+x2=2m1 + x_2 = 2m
⇔x2=2m−1⇔x_2 = 2m - 1
  • x2x_2 nằm trong khoảng (0,1) tương đương
0 < 2m - 1 < 1
⇔1<2m<2⇔1 < 2m < 2
⇔12<m<1.⇔\frac{1}{2} < m < 1.
 
  • Vậy m phải thoả mãn điều kiện 12<m<1\frac{1}{2} < m < 1 để phương trình x2−2mx+2m−1=0x^2 - 2mx + 2m - 1 = 0 có nghiệm nằm trong khoảng (0,1) .
 

Tạm kết

Qua các ví dụ và bài toán nâng cao về công thức Vieta, các bạn đã học được cách tính giá trị các biểu thức nghiệm không đối xứng và giải các bài toán về tham số m. Việc ôn tập và thực hành đều đặn sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức và tự tin bước vào kỳ thi nhé.
 
Kì Trước
Ngày 3
  • Ôn lại công thức Vieta cho phương trình bậc hai
  • Thực hành áp dụng công thức Vieta để tính các hệ thức của hai nghiệm mà không giải phương trình.
  • Giải các bài tập cơ bản và nâng cao về Vieta .
Đón xem Kì tới
Ngày 5
  • Giải các bài toán về tỷ lệ, phần trăm, mua bán, lời lỗ và quy đổi đơn vị trong các tình huống thực tế.
  • Học các bài toán thực tế liên quan đến chuyển động, tính công công việc, và thời gian.
  • Làm quen với giảm/tăng giá dạng bậc thang (giá điện, nước, mua sỉ, v..v)
  • Làm bài tập để làm quen với các dạng bài toán này.
Mọi thắc mắc về bài tập đáp án vui lòng liên hệ thông tin bên dưới
Zalo/Tele/Imess/Telegram/Whatsapp: +84 - 765-359-411 toancodiem.xinchao@gmail.com
Toán Cô Diễm
Trường dạy thêm toán cấp 3 của Cô Diễm - giáo viên nổi tiếng với 40 năm kinh nghiệm dạy học sinh giỏi toán. Khám phá các khóa học chất lượng giúp học sinh nâng
Toán Cô Diễm
https://toancodiem.com/
Toán Cô Diễm
 
Shin Hoàng

Bài Liên Quan

15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 13-14-15: Các dạng bài Chứng minh thẳng hàng nâng cao ứng dụng giải câu cuối cùng

15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 13-14-15: Các dạng bài Chứng minh thẳng hàng nâng cao ứng dụng giải câu cuối cùng
Shin Hoàng
Oct 11, 2024

15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 13-14-15: Chứng Minh Thẳng Hàng Nâng Cao Cho Câu Cuối Cùng Chuỗi ôn thi toán lớp 10 đã đi đến những ngày cuối cùng, tập trung vào các dạng bài chứng minh thẳng hàng nâng cao, giúp bạn chuẩn bị tốt nhất cho câu hỏi khó nhất trong đề thi. Trong ba ngày này, chúng ta sẽ ôn lại • Chứng minh thẳng hàng: Bài Toán Đường thẳng Simson kết hợp Trực tâm tam giác : • Chứng minh thẳng hàng Trong các bài toán tiếp tuyến: • Ứng dụng vào bài thi thực tế: Dành cho học sinh lớp 9, bài viết này sẽ giúp bạn củng cố kiến thức và tự tin đối mặt với các thử thách trong kỳ thi sắp tới.

Hình Học Lớp 9 Nâng cao Thi Lớp 10
15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 9-10: Tiếp Tuyến Đường Tròn - 9 Kết Quả Cần Nhớ

15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 9-10: Tiếp Tuyến Đường Tròn - 9 Kết Quả Cần Nhớ
Cô Mộng Diễm
Oct 11, 2024

Lớp 9 Hình Học Nâng cao Thi Lớp 10
15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 6: Toán thực tế có yếu tố nâng cao: Số học, Suy luận Logic, Xắc suất thống kê và các dạng đặc thù (Lãi suất - Đồ thị - Công thức Khoa học)

15 Ngày Ôn Thi Toán Lớp 10 - Ngày 6: Toán thực tế có yếu tố nâng cao: Số học, Suy luận Logic, Xắc suất thống kê và các dạng đặc thù (Lãi suất - Đồ thị - Công thức Khoa học)
Shin Hoàng
Oct 11, 2024

Hôm nay, chúng ta sẽ ôn lại các bài toán thực tế nâng cao, bao gồm: Số học, Suy luận Logic, Xác suất thống kê và các dạng đặc thù như Lãi suất, Đồ thị và Công thức Khoa học. Đây là những chủ đề quan trọng, giúp bạn phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề thực tế.

Lớp 9 Toán Thực Tế Nâng cao Đề thi Cơ bản Số học Logic Thi Lớp 10