Giải Mẫu Bài 3 Định lý Vi-ét (Viete) Đề thi Toán Năng Khiếu hệ không Chuyên 2025 (đề thi thử đợt 1)

a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_1,x_2 với mọi mm

Xét phương trình
$$x^2 - 3mx + m - 1 = 0.$$
 
Tính biệt số:
$$\Delta = (3m)^2 - 4\cdot 1\cdot(m-1) = 9m^2 - 4m + 4. = (3m-\frac{2}{3})^2 + \frac{32}{9} >0 $$
với mọi m
 
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_1,x_2 với mọi mm
 

b) Tìm mm sao cho x1,x2x_1,x_2 thỏa mãn

$$ m x_1 + x_1^2 - 2m x_2 = 5m + 1. $$
 
Cách 1: Giải bằng sử dụng đẳng thức đáng nhớ
Theo định lý Viète:
$$x_1+x_2 = 3m,\quad x_1 x_2 = m-1.$$
 
Ta có đẳng thức sau:
$$x_1^2 = (x_1+x_2)x_1 - x_1 x_2 = 3m,x_1 - (m-1).$$
 
Thay vào biểu thức cần tính:
$$m x_1 + \Bigl(3m,x_1 - (m-1)\Bigr) - 2m x_2 = 5m+1,$$
$$4m,x_1 - 2m,x_2 - (m-1) = 5m+1.$$
 
Nhận xét $$x_2 = 3m - x_1$$ từ Viète, nên:
$$4m,x_1 - 2m(3m - x_1) - (m-1) = 5m+1,$$
$$4m,x_1 - 6m^2 + 2m,x_1 - m + 1 = 5m+1,$$
$$6m,x_1 - 6m^2 - m + 1 = 5m+1,$$
$$6m(x_1 - m) = 6m.$$
 
Xét $$m \neq 0$$, chia cả hai vế cho $$6m$$ ta có
$$x_1 - m = 1 \quad \Longrightarrow \quad x_1 = m+1.$$
 
Thay vào $$x_1+x_2 = 3m$$ ta có:
$$(m+1)+x_2 = 3m \quad \Longrightarrow \quad x_2 = 2m-1.$$
 
Từ định lý Viète, ta có:
$$x_1 x_2 = (m+1)(2m-1)= m-1.$$
Tính:
$$(m+1)(2m-1)= 2m^2 + m - 1.$$
Đặt:
$$2m^2 + m - 1 = m-1 \quad \Longrightarrow \quad 2m^2 = 0.$$
$$\Rightarrow m = 0.$$
 
Xét $$m=0$$ thì phương trình trở thành:
$$x^2 - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = \pm 1.$$
 
Kiểm tra biểu thức:
$$0\cdot x_1 + x_1^2 - 0\cdot x_2 = x_1^2.$$
Với $$x_1=1$$ (và $$x_2=-1$$), ta có $$1 = 5\cdot0+1 = 1.$$
 
Vậy điều kiện được thoả mãn chỉ khi $$m=0$$.
 
Cách 2: Giải theo phương pháp hạ bậc
Vì $$x_1$$ là nghiệm của phương trình, ta có
$$x_1^2 - 3m,x_1 + m - 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad x_1^2 = 3m,x_1 - m + 1. \qquad (1)$$
 
Thay (1) vào biểu thức cần tìm:
$$m x_1 + x_1^2 - 2m x_2 = m x_1 + \Bigl(3m,x_1 - m + 1\Bigr) - 2m x_2,$$
$$= 4m,x_1 - 2m x_2 - m + 1.$$
 
Yêu cầu biểu thức bằng $$5m+1$$, nên ta có:
$$4m,x_1 - 2m x_2 - m + 1 = 5m+1.$$
$$4m,x_1 - 2m x_2 = 6m.$$
 
Xét $$m \neq 0$$ để chia cả hai vế cho $$2m$$:
$$2x_1 - x_2 = 3. \qquad (2)$$
 
Áp dụng định lý Viète: $$ x_1 + x_2 = 3m,\quad x_1 x_2 = m - 1
: $$\implies x_1 + (2x_1 - 3) = 3m \quad\Rightarrow\quad 3x_1 = 3m+3 \quad\Rightarrow\quad x_1 = m+1. $$
 
Suy ra: $$ x_2 = 2(m+1)-3 = 2m-1. $$
 
Thay vào tích nghiệm: $$ (m+1)(2m-1) = 2m^2 + m -1 \stackrel{!}{=} m-1.$$
$$ \implies 2m^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad m = 0. $$
 
Kiểm tra: Khi (m=0), ta có (x^2-1=0) với (x_1=1), (x_2=-1)
và $$ 0\cdot 1 + 1 - 0 = 1 = 5\cdot 0+1. $$
 
Kết luận:
m=0\boxed{m = 0}