a. Giải hệ phương trình
$$ \begin{cases} (x-1)(x-y+1) = 0, \quad (1) \\ x + y + 2\sqrt{x + y} = 15. \quad (2) \end{cases} $$ Đk: $$x + y \geq 0.$$
Giải:
Từ (1):
$$x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - y + 1 = 0.$$
Suy ra:
$$x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x + 1 = y. \quad (3)$$
Thay (3) vào (2):
$$x + y + 2\sqrt{x + y} = 15 \Rightarrow x + y + 1 = 16.$$
$$\implies (\sqrt{x + y} + 1)^2 = 16.$$
Vì $$\sqrt{x + y} + 1 > \sqrt{x + y} \geq 0$$, suy ra:
$$\sqrt{x + y} + 1 = 4 \Rightarrow x + y = 9. \quad (4)$$
Từ (3) và (4):
- Với $$x = 1$$, $$y = 9 - 1 = 8.$$
- Với $$x + 1 = y$$, ta có:
$$x + (x + 1) = 9 \Rightarrow 2x = 8 \Rightarrow x = 4, y = 5.$$
Kết luận: $$\begin{cases} x = 1, y = 8, \ \text{hoặc} \ x = 4, y = 5. \end{cases}$$
Thử lại:
- Với $$(x, y) = (1, 8)$$:
- Phương trình (1): $$(1 - 1)(1 - 8 + 1) = 0.$$ Thỏa mãn.
- Phương trình (2): $$1 + 8 + 2\sqrt{1 + 8} = 15.$$ Thỏa mãn.
- Với $$(x, y) = (4, 5)$$:
- Phương trình (1): $$(4 - 1)(4 - 5 + 1) = 0.$$ Thỏa mãn.
- Phương trình (2): $$4 + 5 + 2\sqrt{4 + 5} = 15.$$ Thỏa mãn.
Đáp số:
$$(x, y) = (1, 8) \quad \text{hoặc} \quad (x, y) = (4, 5).$$
Cách khácHệ có 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $$x=1.$$
Thay vào phương trình thứ hai:
$$ 1+y+2\sqrt{1+y}=15. $$
Đặt $$s=1+y$$ (với $$s\ge0$$):
$$ s+2\sqrt{s}=15. $$
Đưa về dạng:
$$ s+2\sqrt{s}-15=0. $$
Đặt $$t=\sqrt{s}$$ (với $$t\ge0$$), thì $$s=t^2$$ và phương trình trở thành:
$$ t^2+2t-15=0. $$
Tính delta:
$$ \Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-15)=4+60=64,\quad t=\frac{-2\pm8}{2}. $$
Chọn $$t=\frac{6}{2}=3,\quad s=t^2=9.$$
Suy ra:
$$ 1+y=9\quad\Longrightarrow\quad y=8. $$
→ Nghiệm: $$ (x,y)=(1,8). $$
Trường hợp 2: $$x-y+1=0 \quad\Rightarrow\quad y=x+1.$$
Thay vào phương trình thứ hai:
$$ x+(x+1)+2\sqrt{2x+1}=15, $$
$$ 2x+1+2\sqrt{2x+1}=15. $$
Đặt $$u=2x+1$$ (với $$u\ge0$$):
$$ u+2\sqrt{u}=15\quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{u}=15-u. $$
Lưu ý $$15-u\ge0$$ nên $$u\le15.$$
Bình phương cả hai vế:
$$ 4u=(15-u)^2=225-30u+u^2, $$
$$ u^2-34u+225=0. $$
Tính delta:
$$ \Delta_u=34^2-4\cdot225=1156-900=256,\quad \sqrt{256}=16. $$
Nghiệm:
$$ u=\frac{34\pm16}{2}. $$
Chọn nghiệm dương:
$$ u=\frac{34-16}{2}=9 \quad \text{hoặc} \quad u=\frac{34+16}{2}=25. $$
Nhưng kiểm tra:
- Với $$u=9$$: $$9+2\cdot3=15$$ (thỏa).
- Với $$u=25$$: $$25+2\cdot5=35\neq15.$$
Như vậy, $$u=9.$$
Ta có:
$$ 2x+1=9\quad\Longrightarrow\quad x=4,\quad y=x+1=5. $$
→ Nghiệm: $$ (x,y)=(4,5). $$
Kết luận:
Hệ có 2 nghiệm $$ (x,y)=(1,8) $$ và $$ (4,5). $$
b. Tính độ dài đoạn thẳng
Hướng dẫn
- Sử dụng giả thiết để tính ra cạnh cần thiết (AB)
- Vẽ yếu tố phụ (CE) để tạo ra tam giác vuông và tính cạnh BC bằng định lý Pytago
Hình Vẽ
Made with Bullet